Нижняя a
n и верхняя b
n границы
n-го
уровня вычисляются по формулам
a n =
n (n + 1) /2 + 1, b n = (n + 1)(n + 2) / 2 [формула
1]
Значения bn для n = 1,2,3,.., 91 приведены в таблице
1. Величину a n легко вычислить по той же таблице,
поскольку a n = b n-1 + 1,
напpимеp, a 10
= b 9 + 1 = 56.
Таблица 1
n |
b n |
n |
b n |
n |
b n |
n |
b n |
n |
b n |
1 |
3 |
19 |
210 |
37 |
741 |
55 |
1596 |
73 |
2775 |
2 |
6 |
20 |
231 |
38 |
780 |
56 |
1653 |
74 |
2850 |
3 |
10 |
21 |
253 |
39 |
820 |
57 |
1711 |
75 |
2926 |
4 |
15 |
22 |
276 |
40 |
861 |
58 |
1770 |
76 |
3003 |
5 |
21 |
23 |
300 |
41 |
903 |
59 |
1830 |
77 |
3081 |
6 |
28 |
24 |
325 |
42 |
946 |
60 |
1891 |
78 |
3160 |
7 |
36 |
25 |
351 |
43 |
990 |
61 |
1953 |
79 |
3240 |
8 |
45 |
26 |
378 |
44 |
1035 |
62 |
2016 |
80 |
3321 |
9 |
55 |
27 |
406 |
45 |
1081 |
63 |
2080 |
81 |
3403 |
10 |
66 |
28 |
435 |
46 |
1128 |
64 |
2145 |
82 |
3486 |
11 |
78 |
29 |
465 |
47 |
1176 |
65 |
2211 |
83 |
3570 |
12 |
91 |
30 |
496 |
48 |
1225 |
66 |
2278 |
84 |
3654 |
13 |
105 |
31 |
528 |
49 |
1275 |
67 |
2346 |
85 |
3740 |
14 |
120 |
32 |
561 |
50 |
1326 |
68 |
2415 |
86 |
3827 |
15 |
136 |
33 |
595 |
51 |
1378 |
69 |
2485 |
87 |
3915 |
16 |
153 |
34 |
630 |
52 |
1431 |
70 |
2556 |
88 |
4004 |
17 |
171 |
35 |
666 |
53 |
1485 |
71 |
2628 |
89 |
4094 |
18 |
190 |
36 |
703 |
54 |
1540 |
72 |
2701 |
90 |
4185 |
|
91 |
4278 |
Уровень U(n), на котором находится число n, может быть вычислен
по формуле
U(n) = < Ö 2n > -1,
где угловые скобки обозначают ближайшее к данному целое число.
Например, при n = 1990 получаем
Ö 2n = Ö 3980 =
63.08, и значит
U (1990) = < 63.08 > -1 = 62, что согласуется с
таблицей 1, в соответствии с которой 62-й уровень составляют числа с
1954 по 2016 включительно.
Фазы проявления духа
определяются рекурсивно: (n+1)-я фаза проявления духа состоит из
чисел, заполняющих уровни пирамиды, номера которых принадлежат n-й
фазе проявления духа; нулевой фазой проявления духа служит, по
определению единица. Пусть c n и d n -
соответственно нижняя и верхняя границы n-й фазы проявления духа.
Тогда, очевидно, c n+1 = d n +1, c
1 = 2, d 1 = 3, а для n ³
1 справедлива (см. [1]) формула
d n+1 = (d n + 1)(d n + 2)/2,
с помощью которой можно последовательно вычислить d n,
см. таблицу 2, в которой значения d n при n
³ 6 по понятным причинам
указаны приблизительно.
Таблица 2
n |
d n |
n |
d n |
1 |
3 |
9 |
6.575 x 1098 |
2 |
10 |
10 |
2.162 x 10197 |
3 |
66 |
11 |
2.34 x 10394 |
4 |
2278 |
12 |
2.7 x 10788 |
5 |
2 598 060 |
13 |
4 x 101576 |
6 |
3.375 x 1012 |
14 |
7 x 103152 |
7 |
6.695 x 1024 |
15 |
5 x 106305 |
8 |
1.662 x 1049 |
16 |
1012611 |